מתמטריק
בגרות קיץ 2025 מועד א' · שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית במערכת צירים3 יחידות 372 · שיעור 23
בגרות קיץ 2025 מועד א' · שאלה 2

בגרות קיץ 2025 מועד א' · שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית במערכת צירים

פרק 3 – הקו הישר
1נוסח השאלה
2סעיף א – הקודקוד B
3סעיף ב (1) – שיפוע AB
4סעיף ב (2) – משוואת AC
5סעיף ג – הקודקוד C
6סעיף ד – המשולש ADB שווה שוקיים
7סעיף ה – היקף המרובע ADBC
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ישר זווית ABC (∢BAC = 90 מעלות). הקודקוד A נמצא על ציר ה־x. הנקודה E היא אמצע הצלע AB (ראו סרטוט).
נתון: A(−2 , 0) , E(4 , 9).
א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.
ב. (1) מצאו את שיפוע הצלע AB.
(2) מצאו את משוואת הצלע AC.
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
📄 נוסח השאלה · המשך
הצלע BC מקבילה לציר ה־x.
ג. מצאו את שיעורי הקודקוד C.
נתון: D(10 , 5).
ד. הראו כי המשולש ADB הוא שווה שוקיים.
ה. חשבו את היקף המרובע ADBC.
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף א – הקודקוד B
E אמצע AB. נסמן B(x , y):
xE = xA + x2
📐 אמצע קטע
נציב xE = 4 , xA = −2:
4 = −2 + x2
8 = −2 + x
x = 10
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
📐 אמצע קטע
x = x1 + x22 , y = y1 + y22
סעיף א – הקודקוד B · המשך
x = 10
yE = yA + y2
נציב yE = 9 , yA = 0:
9 = 0 + y2
y = 18
✅ פתרון סופי: B(10 , 18)
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף ב (1) – שיפוע AB
mAB = yB − yAxB − xA
📐 שיפוע
נציב B(10 , 18) , A(−2 , 0):
mAB = 18 − 010 − (−2)
mAB = 1812 = 1.5
✅ פתרון סופי: mAB = 1.5
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
📐 שיפוע
m = y2 − y1x2 − x1
סעיף ב (2) – משוואת AC
AC ⊥ AB (הזווית A ישרה):
mAC · mAB = −1
📐 ישרים מאונכים
נציב mAB = 1.5:
mAC · 1.5 = −1
mAC = −11.5 = −23
הישר עובר דרך A(−2 , 0):
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
📐 ישרים מאונכים
m1 · m2 = −1
סעיף ב (2) – משוואת AC · המשך
הישר עובר דרך A(−2 , 0):
y − y1 = m(x − x1)
📐 משוואת ישר
נציב m = −23 , A(−2 , 0):
y − 0 = −23(x − (−2))
y − 0 = −23(x + 2)
y = −23x − 43
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
📐 משוואת ישר
y − y1 = m(x − x1)
סעיף ב (2) – משוואת AC · המשך
y = −23x − 43
✅ פתרון סופי: y = −23x − 43
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף ג – הקודקוד C
BC מקבילה לציר ה־x, ולכן לכל הנקודות עליה אותו y כמו ל־B: y = 18.
C נמצא גם על AC:
y = −23x − 43
נציב y = 18:
18 = −23x − 43
נכפול ב־3:
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף ג – הקודקוד C · המשך
נכפול ב־3:
54 = −2x − 4
2x = −58
x = −29
✅ פתרון סופי: C(−29 , 18)
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף ד – המשולש ADB שווה שוקיים
נחשב את AD:
AD = √(xD − xA)2 + (yD − yA)2
📐 מרחק בין שתי נקודות
נציב D(10 , 5) , A(−2 , 0):
AD = √(10 − (−2))2 + (5 − 0)2
AD = √144 + 25 = √169 = 13
ל־D ול־B אותו x = 10 (הקטע אנכי), ולכן:
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
📐 מרחק בין שתי נקודות
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
סעיף ד – המשולש ADB שווה שוקיים · המשך
ל־D ול־B אותו x = 10 (הקטע אנכי), ולכן:
DB = yB − yD
נציב yB = 18 , yD = 5:
DB = 18 − 5 = 13
AD = DB = 13
שתי צלעות שוות – המשולש ADB שווה שוקיים.
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף ד – המשולש ADB שווה שוקיים · המשך
שתי צלעות שוות – המשולש ADB שווה שוקיים.
✅ פתרון סופי: AD = DB = 13 – שווה שוקיים
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף ה – היקף המרובע ADBC
ההיקף: AD + DB + BC + CA.
BC – קטע אופקי (y = 18):
BC = xB − xC
נציב xB = 10 , xC = −29:
BC = 10 − (−29) = 39
CA:
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף ה – היקף המרובע ADBC · המשך
CA:
CA = √(xA − xC)2 + (yA − yC)2
📐 מרחק בין שתי נקודות
נציב A(−2 , 0) , C(−29 , 18):
CA = √(−2 − (−29))2 + (0 − 18)2
CA = √272 + 182
CA = √729 + 324 = √1,053
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
📐 מרחק בין שתי נקודות
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
סעיף ה – היקף המרובע ADBC · המשך
CA = √729 + 324 = √1,053
CA ≈ 32.45
P = AD + DB + BC + CA
נציב AD = 13 , DB = 13 , BC = 39 , CA = 32.45:
P = 13 + 13 + 39 + 32.45
P ≈ 97.45
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2
סעיף ה – היקף המרובע ADBC · המשך
P ≈ 97.45
✅ פתרון סופי: כ־97.45 (65 + 9√13)
סרטוט המשולש ABC במערכת צירים משאלה 2

📌 סיכום התשובות

סעיף א
B(10 , 18)
ב (1)
1.5
ב (2)
y = −23x − 43
סעיף ג
C(−29 , 18)
סעיף ד
AD = DB = 13
סעיף ה
כ־97.45
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא